By Prof. Dr. Otto Forster (auth.)

ISBN-10: 3663092399

ISBN-13: 9783663092391

ISBN-10: 3663092402

ISBN-13: 9783663092407

Dr. Otto Forster ist Professor am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München und Autor der bekannten Lehrbücher research 1-3.

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Es ist also nur noch die Bijektivitat von ¢ zu zeigen. Da ZlmZ aus m Elementen besteht und das Produkt (ZlmlZ) x ... x ('1. I mrZ) ebenfalls m = ml m2 .... ' mr Elemente hat, reicht es sogar zu beweisen, dass ¢ surjektiv ist. Dazu zeigen wir zunachst, dass jedes Element ei = (0, ... ,0,1,0, ... ,0) (wobei die 1 an der i-ten Stelle steht), im Bild von ¢ vorkommt. Wir miissen also eine ganze Zahl Uj finden, so dass Uj == 1 mod mj und Ui == ° mod mk fiir k i- i. ° Sei Zj := ITk#j mk = mlmj. Dann ist Uj == mod mk fiir alle k i- i.

Der Fall, dass x eine Einheit ist, ist darin eingeschlossen. ) Vereinbarung. Wenn wir im Folgenden sagen: "Sei x = upr 1 p~2 ..... p~m die Primfaktor-Zerlegung des Elements x ... ", so sei stets implizit vorausgesetzt, dass die Primelemente Pi paarweise nicht assoziiert zueinander sind. Wiihlt man in einem Hauptidealring R aus jeder Klasse zueinander assoziierter Primelemente einen festen Repriisentanten P aus (fUr R = Z sei stets P > 0 gewiihlt), und bezeichnet die so erhaltene Menge von Primelementen mit P, so liisst sich die Primfaktor-Zerlegung auch so ausdriicken: Jedes Element x E R" {O} besitzt eine eindeutige Darstellung x = U II pvp(x) pEP mit einer Einheit U E R* und ganzen Zahlen vp ( x) ;:: 0, wobei vp ( x) i- 0 nur fUr endlich viele pEP, (so dass also das Produkt in Wirklichkeit endlich ist).

Gilt nicht x I y, so schreibt man x ty. Bemerkung. Es gilt x I 0 fUr aile x. Andrerseits ist fUr y f:. 0 stets 0 t y. Ein Element u E R heiBt Einheit, wenn ein v E R existiert mit uv = 1. Die Menge ailer Einheiten in R wird mit R* bezeichnet. R* ist eine multiplikative Gruppe. Zwei Elemente x, y E R" {O} heiBen assoziiert, falls eine Einheit u E R existiert mit x = uy. Beispiele. Es gilt a) Z* = {I, -I}, b) Z[i]* = {I, -1, i, -i}, c) K[X]* = 1(* = 1( " {o}. Dabei wird ein Element a E 1(* als Polynom vom Grad 0 aufgefasst.

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Algorithmische Zahlentheorie by Prof. Dr. Otto Forster (auth.)


by Daniel
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